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`!Additiver Funktor`! ist ein Begriff aus dem `F33f`_`[mathematischen Teilgebiet`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Teilgebiete_der_Mathematik]`_`f der `F33f`_`[Kategorientheorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kategorientheorie]`_`f. Es handelt sich dabei um `F33f`_`[Funktoren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Funktor_(Mathematik)]`_`f zwischen `F33f`_`[präadditiven Kategorien`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Präadditive_Kategorie]`_`f, die `F33f`_`[Gruppenhomomorphismen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gruppenhomomorphismus]`_`f zwischen den Morphismengruppen definieren.
>>Contents
• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f
• `F0af`_`[Charakterisierung`#charakterisierung]`_`f
• `F0af`_`[Beispiele`#beispiele]`_`f
• `F0af`_`[Eigenschaften`#eigenschaften]`_`f
• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f
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>>Definition
Es seien C {\\displaystyle {\\mathfrak {C}}} und D {\\displaystyle {\\mathfrak {D}}} präadditive Kategorien. Ein Funktor F : C → → D {\\displaystyle F:{\\mathfrak {C}}\\rightarrow {\\mathfrak {D}}} heißt additiv, falls die Abbildungen M o r C ( X , Y ) → → M o r D ( F X , F Y ) ; f ↦ ↦ F f {\\displaystyle \\mathrm {Mor} _{\\mathfrak {C}}(X,Y)\\rightarrow \\mathrm {Mor} _{\\mathfrak {D}}(FX,FY);\\,f\\mapsto Ff} für je zwei Objekte X {\\displaystyle X} und Y {\\displaystyle Y} aus C {\\displaystyle {\\mathfrak {C}}} Gruppenhomomorphismen sind.
Häufig betrachtet man additive Funktoren auf `F33f`_`[additiven`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Additive_Kategorie]`_`f oder `F33f`_`[abelschen Kategorien`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Abelsche_Kategorie]`_`f, da diese auf solchen Kategorien weitere Eigenschaften haben. Die meisten natürlich auftretenden Funktoren zwischen präadditiven Kategorien sind additiv.
>>Charakterisierung
Für Funktoren zwischen abelschen Kategorien hat man folgende Charakterisierung:`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f] Ein Funktor F : A → → B {\\displaystyle F:{\\mathfrak {A}}\\rightarrow {\\mathfrak {B}}} ist genau dann additiv, wenn F ( A 1 ⊕ ⊕ A 2 ) = F ( A 1 ) ⊕ ⊕ F ( A 2 ) {\\displaystyle F(A_{1}\\oplus A_{2})=F(A_{1})\\oplus F(A_{2})} für alle Objekte A 1 , A 2 {\\displaystyle A_{1},A_{2}} aus A {\\displaystyle {\\mathfrak {A}}} , wobei die Gleichheit folgendes bedeuten soll: Ist ( ι ι j : A j → → A 1 ⊕ ⊕ A 2 ) j = 1 , 2 {\\displaystyle (\\iota _{j}:A_{j}\\rightarrow A_{1}\\oplus A_{2})_{j=1,2}} eine `F33f`_`[direkte Summe`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Direkte_Summe]`_`f, so auch ( F ι ι j : F A j → → F ( A 1 ⊕ ⊕ A 2 ) ) j = 1 , 2 {\\displaystyle (F\\iota _{j}:FA_{j}\\rightarrow F(A_{1}\\oplus A_{2}))_{j=1,2}} .
>>Beispiele
• Die `F33f`_`[Hom-Funktoren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hom-Funktor]`_`f H o m R ( A , − − ) {\\displaystyle \\mathrm {Hom} _{R}(A,-)} von der Kategorie M R {\\displaystyle {\\mathfrak {M}}_{R}} der R {\\displaystyle R} -`F33f`_`[Moduln`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Modul_(Mathematik)]`_`f über einem `F33f`_`[Ring`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ring_(Algebra)]`_`f R {\\displaystyle R} in die Kategorie A b {\\displaystyle {\\mathfrak {Ab}}} der `F33f`_`[abelschen Gruppen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Abelsche_Gruppe]`_`f, A {\\displaystyle A} ein fester R {\\displaystyle R} -Modul, ist additiv. Das Gleiche gilt für die Funktoren H o m R ( − − , A ) : M R → → A b {\\displaystyle \\mathrm {Hom} _{R}(-,A):{\\mathfrak {M}}_{R}\\rightarrow {\\mathfrak {Ab}}}
• Die `F33f`_`[Tensorfunktoren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Tensorprodukt]`_`f ( A ⊗ ⊗ R − − ) : M R → → A b {\\displaystyle (A\\otimes _{R}-):{\\mathfrak {M}}_{R}\\rightarrow {\\mathfrak {Ab}}} sind additiv, ebenso ( − − ⊗ ⊗ R A ) : M R → → A b {\\displaystyle (-\\otimes _{R}A):{\\mathfrak {M}}_{R}\\rightarrow {\\mathfrak {Ab}}}
• `F33f`_`[Halbexakte`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Halbexakt]`_`f Funktoren sind additiv.`:cite-ref-2[`F5bf`_`[2`#cite-note-2]`_`f]
• Der Funktor F : M R → → M R {\\displaystyle F:{\\mathfrak {M}}_{R}\\rightarrow {\\mathfrak {M}}_{R}} mit F A = A ⊕ ⊕ R {\\displaystyle FA=A\\oplus R} für jeden Modul A {\\displaystyle A} und F f = f ⊕ ⊕ i d R {\\displaystyle Ff=f\\oplus \\mathrm {id} _{R}} für jeden Morphismus f {\\displaystyle f} ist nicht additiv.
>>Eigenschaften
Additive Funktoren zwischen abelschen Kategorien haben folgende Eigenschaften:
• Additive Funktoren überführen `F33f`_`[Nullobjekte`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Anfangsobjekt,_Endobjekt_und_Nullobjekt]`_`f in Nullobjekte.`:cite-ref-3[`F5bf`_`[3`#cite-note-3]`_`f]
• Additive Funktoren überführen endliche direkte Summen in direkte Summen.`:cite-ref-4[`F5bf`_`[4`#cite-note-4]`_`f]
• Ist 0 → → A → → A ′ → → A ″ → → 0 {\\displaystyle 0\\rightarrow A\\rightarrow A^{'}\\rightarrow A^{''}\\rightarrow 0} eine kurze exakte Sequenz und F {\\displaystyle F} ein additiver Funktor, so hat man eine lange exakte Sequenz
… … → → L n F A → → L n F A ′ → → L n F A ″ → → … … → → L 0 F A → → L 0 F A ′ → → L 0 F A ″ → → 0 {\\displaystyle \\ldots \\rightarrow L_{n}FA\\rightarrow L_{n}FA^{'}\\rightarrow L_{n}FA^{''}\\rightarrow \\ldots \\rightarrow L_{0}FA\\rightarrow L_{0}FA^{'}\\rightarrow L_{0}FA^{''}\\rightarrow 0} ,
wobei L n {\\displaystyle L_{n}} für die n {\\displaystyle n} -te `F33f`_`[Linksableitung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Abgeleiteter_Funktor]`_`f stehe.`:cite-ref-5[`F5bf`_`[5`#cite-note-5]`_`f] Insbesondere ist die 0-te Linksableitung eines additiven Funktors `F33f`_`[rechtsexakt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Rechtsexakt]`_`f.
• Ist F → ρ ρ F ′ → σ σ F ″ {\\displaystyle F{\\xrightarrow {\\rho }}F^{'}{\\xrightarrow {\\sigma }}F^{''}} eine Folge additiver Funktoren und `F33f`_`[natürlicher Transformationen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Natürliche_Transformation]`_`f ρ ρ {\\displaystyle \\rho } und σ σ {\\displaystyle \\sigma } und ist für jeden `F33f`_`[projektiven Modul`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Projektiver_Modul]`_`f P {\\displaystyle P} die Sequenz
0 → → F P → ρ ρ P F ′ P → σ σ P F ″ P → → 0 {\\displaystyle 0\\rightarrow FP{\\xrightarrow {\\rho ^{P}}}F^{'}P{\\xrightarrow {\\sigma ^{P}}}F^{''}P\\rightarrow 0}
exakt, so hat man für beliebige Moduln A {\\displaystyle A} eine lange exakte Sequenz`:cite-ref-6[`F5bf`_`[6`#cite-note-6]`_`f]
… … → → L n F A → → L n F ′ A → → L n F ″ A → → … … → → L 0 F A → → L 0 F ′ A → → L 0 F ″ A → → 0 {\\displaystyle \\ldots \\rightarrow L_{n}FA\\rightarrow L_{n}F^{'}A\\rightarrow L_{n}F^{''}A\\rightarrow \\ldots \\rightarrow L_{0}FA\\rightarrow L_{0}F^{'}A\\rightarrow L_{0}F^{''}A\\rightarrow 0} .
>>Einzelnachweise
`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f Peter Hilton: `*Lectures in Homological Algebra.`* American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.1.
`:cite-note-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-2]`_`f Peter Hilton: `*Lectures in Homological Algebra.`* American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.2.
`:cite-note-3`!3.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-3]`_`f Götz Brunner: `*Homologische Algebra.`* B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, ISBN 3-411-014420-2, Kapitel III, Satz 23.
`:cite-note-4`!4.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-4]`_`f Götz Brunner: `*Homologische Algebra.`* B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, ISBN 3-411-014420-2, Kapitel III, Satz 24.
`:cite-note-5`!5.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-5]`_`f Peter Hilton: `*Lectures in Homological Algebra.`* American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Theorem 3.6.
`:cite-note-6`!6.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-6]`_`f Peter Hilton: `*Lectures in Homological Algebra.`* American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Theorem 3.8.
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